UDC 528.2/.3:551.24
О. А. TADYEYEV
Department of Geodesy and Cartography, National University of Water and Environmental Engineering, 11, Soborna str., Rivne, Ukraine, 33028, tel. +38(096)7488449, e-mail: oleksandrtad@gmail.com
EVALUATION OF THREE-DIMENSIONAL DEFORMATION FIELDS OF THE EARTH BY METHODS OF THE PROJECTIVE DIFFERENTIAL GEOMETRY.
THE MAIN LINEAR DEFORMATIONS
Aim. The aim is to solve the problem of evaluating the Earth’s topographic surface deformations using projective differential geometry methods as an expression of the space metric tensor and the group of main linear deformation parameters in the spatial geocentric coordinate system. Methodology. Solving the problem is based on using the homeomorphism transformation (mapping) properties of the three-dimensional continuous and closed domains of the space with the hypothesis that this transformation has a geophysical origin and was caused by the deformation. If the base functions meet homeomorphism requirements, the functional model transformation is capable of transmitting the change of metric properties of the domain by different characteristics that, in the accepted hypotheses, are its deformation parameters. The main carrier of these characteristics is the metric tensor of three-dimensional Euclidean space. A tensor is formed by the metric form of the transformed domain of space as the square of the linear element length, which is expressed by differentials of the transformation domain coordinates and then full differentials of base functions e are taken into account. Results. Solving the task is carried out on the condition that the transformation domain of space is outlined by the Earth’s topographic surface and coordinated on a three-dimensional rectangular geocentric system. The solution results are working formulas for calculating the main spatial linear deformations, which are expressed by coefficients of elongation, compression, and shear of the topographic surface. Directions of these parameters are defined in the geocentric polar system. Various coefficients of elongation and their directions are expressed in metric tensor components. Formulas are obtained for calculating the parameters in any given direction, along the directions of coordinate axis, on projections to coordinate planes, and for the extreme values triad with the respective spatial orientation. Scientific novelty and practical significance. It is grounded that studies of the Earth’s deformation fields by methods of the projective differential geometry has greater potential capabilities when compared to methods of linear continuum mechanics and also provides generalized solutions. The homeomorphic functional model as the basis for the formation of the tensor allows the expression of the deformation of any character. Formulas for expressing the main linear deformations are obtained. Results are suitable for evaluation of three-dimensional deformation fields of any scale. Deformation parameters are attributed directly to the topographic surface of the Earth. The sufficient coverage of the Earth by GNSS stations and representational observational data that defines the completeness of functional model construction, together with the obtained results are able to provide the evaluation and interpretation of the real deformations, but not within the traditional model surfaces.
Key words: spatial deformations of the Earth; topographic surface; space mapping; space metric form; space metric tensor; coefficient of linear distortion.

Кількість посилань 32

ТАДЄЄВ О. А.
Кафедра геодезії та картографії, Національний університет водного господарства та природокористування,
вул. Соборна, 11, Рівне, Україна, 33028, тел. +38(096)7488449, ел. пошта: oleksandrtad@gmail.com

ОЦІНЮВАННЯ ТРИВИМІРНИХ ДЕФОРМАЦІЙНИХ ПОЛІВ ЗЕМЛІ МЕТОДАМИ
ПРОЕКТИВНО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ. ГОЛОВНІ ЛІНІЙНІ ДЕФОРМАЦІЇ

Мета. Оцінювання деформацій топографічної поверхні Землі методами проективно-диференціальної геометрії спрямоване на вираження метричного тензора простору і групи параметрів головних лінійних деформацій у геоцентричній просторовій системі координат. Методика. Виконання завдання ґрунтується на використанні властивостей гомеоморфізму перетворення (відображення) тривимірної замкненої неперервної області простору за гіпотези, що це перетворення має геофізичне походження і спричинене деформацією. За умови відповідності базових функцій вимогам гомеоморфізму, функціональна модель перетворення здатна передавати різними характеристиками зміну метричних властивостей області, які, за прийнятої гіпотези, є параметрами її деформації. Основним їхнім носієм є метричний тензор тривимірного евклідового простору. Тензор формується метричною формою перетвореної області простору – квадратом довжини лінійного елемента, вираженого за диференціалами координат області перетворення з урахуванням повних диференціалів базових функцій. Результати. Виконання завдання здійснено за умови, що область перетворення простору окреслена топографічною поверхнею Землі і координована в геоцентричній тривимірній прямокутній системі. Результатом виконання є робочі формули для обчислення головних просторових лінійних деформацій – коефіцієнтів розширення, стиснення та зсуву топографічної поверхні. Напрями цих показників визначено в геоцентричній полярній системі. Різні коефіцієнти розширень та їхні напрями виражені в компонентах метричного тензора. Одержано формули для обчислення параметрів у довільному заданому напрямі, вздовж напрямів координатних осей, у проекціях на координатні площини, а також для тріади їхніх екстремальних значень з відповідною просторовою орієнтацією. Наукова новизна і практична значущість. Обґрунтовано, що під час досліджень деформаційних полів Землі методи проективно-диференціальної геометрії мають більші потенційні можливості порівняно з методами лінійної механіки суцільного середовища і забезпечують узагальнені розв’язки. Гомеоморфна функціональна модель як основа формування тензора дає змогу виражати будь-які деформації. Одержано розрахункові формули для вираження головних лінійних деформацій. Результати придатні для оцінювання тривимірних деформаційних полів будь-яких масштабів. Параметри деформації зараховують безпосередньо до топографічної поверхні Землі. Достатнє покриття Землі GNSS-станціями і репрезентативні дані спостережень, що визначає повноту побудови функціональної моделі, разом з одержаними результатами здатні оцінити та інтерпретувати реальні деформації, а не ті, що належать до традиційних модельних референцних поверхонь.
Ключові слова: просторові деформації Землі; топографічна поверхня; відображення простору; метрична форма простору; метричний тензор простору; коефіцієнт лінійного спотворення
ТАДЕЕВ А. А.
Кафедра геодезии и картографии, Национальный университет водного хозяйства и природопользования,
ул. Соборная, 11, Ровно, Украина, 33028, эл. почта: oleksandrtad@gmail.com
ОЦЕНИВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ ЗЕМЛИ МЕТОДАМИ
ПРОЕКТИВНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. ГЛАВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Цель. Решение задачи оценивания деформаций топографической поверхности Земли методами проективно-дифференциальной геометрии направленное на выражение метрического тензора пространства и группы параметров главных линейных деформаций в геоцентрической пространственной системе координат. Методика. Решение задачи основывается на использовании свойств гомеоморфизма преобразования (отображения) трехмерной замкнутой непрерывной области пространства при гипотезе, что это преобразование имеет геофизическое происхождение и обусловлено деформацией. При условии соответствия базовых функций требованиям гомеоморфизма, функциональная модель преобразования способна передавать различными характеристиками изменения метрических свойств области, которые, в соответствии с гипотезой, являются параметрами ее деформации. Основным их носителем является метрический тензор трехмерного евклидова пространства. Тензор формируется метрической формой преобразованной области пространства – квадратом длины линейного элемента, выраженного дифференциалами координат области преобразования с учетом полных дифференциалов базовых функций. Результаты. Решение задачи осуществлено при условии, что область преобразования пространства очерчена топографической поверхностью Земли и координирована в геоцентрической трехмерной прямоугольной системе. Результатом решения есть рабочие формулы для вычисления главных пространственных линейных деформаций – коэффициентов расширения, сжатия и сдвига топографической поверхности. Направления этих показателей определены в геоцентрической полярной системе. Различные коэффициенты расширения и их направления выражены в компонентах метрического тензора. Получены формулы для вычисления параметров в произвольном заданном направлении, вдоль направлений координатных осей, в проекциях на координатные плоскости, а также для триады их экстремальных значений с соответствующей пространственной ориентацией. Научная новизна и практическая значимость. Обосновано, что при исследовании деформационных полей Земли методы проективно-дифференциальной геометрии имеют большие потенциальные возможности в сравнении с методами линейной механики сплошной среды и обеспечивают обобщенные решения. Гомеоморфная функциональная модель, как основа формирования тензора, позволяет выражать деформации не только линейного характера. Получены расчетные формулы для выражения главных линейных деформаций. Результаты пригодны для оценивания деформационных полей всех масштабов. Параметры деформации отнесены непосредственно к топографической поверхности Земли. Достаточное покрытие Земли GNSS-станциями и репрезентативные данные наблюдений, определяющие полноту построения функциональной модели, вместе с полученными результатами способны обеспечить оценки и интерпретацию реальных деформаций, а не отнесенных к традиционным модельным референцным поверхностям.
Ключевые слова: пространственные деформации Земли; топографическая поверхность; отображение пространства; метрическая форма пространства; метрический тензор пространства; коэффициент линейного искажения

Received 09.09.2016